简答：短回答

FFT 为什么会产生复数而不是实数？

FT 结果为复数数组的原因在于系数计算中涉及到了复指数乘法器。最终结果因此为复数。FT 使用该乘法器来将信号与多个频率进行相关性分析。原理在下文中进一步详述。

不能用实数表示频域吗？

当然，FT 返回的复系数的 1D 数组可以用由实值构成的 2D 数组来表示，这可以是笛卡尔坐标 x 和 y，也可以是极坐标 r 和 θ（更多 信息）。但是...

复指数形式是信号处理中最适合的形式

仅有实数据并不是很有用。

一方面，已经可以使用函数之一real、imag、abs和angle获取这些坐标。

另一方面，这种孤立的信息非常有限。例如，如果我们添加两个振幅和频率相同但相位相反的信号，则结果为零。但是，如果我们放弃相位信息，我们只是将信号加倍，这是完全错误的。

与普遍的观念相反，使用复数并不是因为这样的数字是一个方便的容器，可以容纳两个独立的值。这是因为处理周期信号始终涉及三角学，并且有一种简单的方法可以从正弦和余弦移动到更简单的复数代数：欧拉公式。

因此，大多数时候信号只是转换为其复指数形式。例如，具有10 Hz频率、3振幅和π/4弧度相位的信号：

可以用 x = 3.ei(2π.10.t+π/4) 来描述。

将指数拆分：x = 3.ei.π/4 乘以 ei.2π.10.t，其中 t 是时间。

第一个数字是称为相量的常数。一个常见的简洁形式是 3∠π/4。第二个数字是随时间变化的变量，称为载波。

这个信号 3.ei.π/4 times ei.2π.10.t 可以很容易地绘制出来，可以作为余弦（实部）或正弦（虚部）：

from numpy import arange, pi, e, real, imag

t = arange(0, 0.2, 1/200)

x = 3 * e ** (1j*pi/4) * e ** (1j*2*pi*10*t)

ax1.stem(t, real(x))

ax2.stem(t, imag(x))

现在，如果我们看一下FT系数，我们会发现它们是相量，它们不嵌入频率，这只与采样数量和采样频率有关。

实际上，如果我们想在时域中绘制FT分量，我们必须单独从找到的频率创建载波，例如通过调用 fftfreq。有了相量和载波，我们就有了谱组成部分。

相量是一个向量，而向量可以旋转

通过使用 real 和 imag 函数提取直角坐标，上面使用的相量 3.e(i.π/4)，也是复数 2.12 + 2.12j（对于科学家和工程师来说i是j）。这些坐标可以在平面上绘制，其中垂直轴表示i（左侧）：

该点也可以表示一个向量（中心）。极坐标可以用来代替笛卡尔坐标（右图）。极坐标可以通过abs和angle提取。很明显，这个向量也可以表示为相量3∠π/4（简写形式为3.e(i.π/4)）。

这个向量的提醒是为了介绍相量的操作方式。假设我们有一个振幅为1的实数，它不小于角度为0的复数，以及一个相量(x∠0)。我们还有第二个相量(3∠π/4)，我们想要这两个相量的乘积。我们可以使用一些三角学的笛卡尔坐标计算结果，但这很繁琐。最简单的方法是使用复指数形式：

我们只需要将角度相加并将实数系数相乘：1.e(i.0) 乘以 3.e(i.π/4) = 1x3.ei(0+π/4) = 3.e(i.π/4)。

我们可以直接写成：(1∠0) 乘以 (3∠π/4) = (3∠π/4)。

无论如何，结果就是这个：

实际效果是将实数转化并缩放其大小。在傅里叶变换中，实数是样本幅度，乘数的大小实际上为1，因此这对应于这个操作，但结果是相同的：

这个长的介绍是为了解释FT背后的数学原理。

傅里叶变换如何创建谱系数

FT的原理是，对于每个谱系数进行计算：

将每个样本振幅乘以不同的相位器，使得角度从第一个样本到最后一个递增，

求出所有先前产品的总和。

如果有N个样本xn（0到N-1），则需要计算N个谱系数Xk。按照FT方程式计算系数Xk涉及将每个样本振幅xn乘以相位器e-i2πkn/N并求和。

在N个单独的产品中，乘数角度根据2π.n/N和k而变化，这意味着角度从0到2π变化，现在忽略k。因此，在执行这些产品时，我们将可变实振幅乘以一个大小为1，角度从0到完整圆的相量。我们知道这种乘法会旋转和缩放实振幅：

来源: 波恩大学物理学院的A. Dieckmann

做这个求和实际上是试图将信号样本与相量角速度相互关联，相量角速度指的是其角度随n/N变化的快慢。结果告诉我们这种关联有多强（幅度），以及它有多少同步性（相位）。

对于k个谱系数，这个操作被重复计算（一半为k负，一半为k正）。随着k的变化，角度增量也会变化，因此相互关联会针对另一个频率进行检查。

结论

傅里叶变换的结果既不是正弦波也不是余弦波，它们是描述相关性的相量，相量是一个常量，表示为复指数，嵌入了幅度和相位。乘以载波，载波也是一个复指数，但它是可变的，取决于时间，在时域中它们绘制螺旋线。

来源

当这些螺旋体被投影到水平平面上时，通过取FT结果的实部，绘制的函数是余弦函数。当它们被投影到垂直平面上时，通过取FT结果的虚部，绘制的函数是正弦函数。相位确定了螺旋体开始的角度，因此没有相位，无法使用逆FT重建信号。

复指数乘法器是将振幅变化的线性速度转换为角速度（频率乘以2π）的工具，所有这些都围绕着欧拉公式将正弦波和复指数联系起来。